MathDB

5

Part of 1969 Dutch Mathematical Olympiad

Problems(1)

trigonometric sum and revolutions of a wheel

Source: Netherlands - Dutch NMO 1969 p5

1/31/2023
a) Prove that for n=2,3,4,...n = 2,3,4,... holds: sin⁡a+sin⁡2a+...+sin⁡(n−1)a=cos⁡a(a2)−cos⁡(n−12)a2sin⁡(a2)\sin a + \sin 2a + ...+ \sin (n-1)a=\frac{\cos a \left(\frac{a}{2}\right) - \cos \left(n-\frac{1}{2}\right) a}{2 \sin \left(\frac{a}{2}\right)} b) A point on the circumference of a wheel, which, remaining in a vertical plane, rolls along a horizontal path, describes, at one revolution of the wheel, a curve having a length equal to four times the diameter of the wheel. Prove this by first considering tilting a regular nn-gon.
[hide=original wording for part b]Een punt van de omtrek van een wiel dat, in een verticaal vlak blijvend, rolt over een horizontaal gedachte weg, beschrijft bij één omwenteling van het wiel een kromme die een lengte heeft die gelijk is aan viermaal de middellijn van het wiel. Bewijs dit door eerst een rondkantelende regelmatige n-hoek te beschouwen.
trigonometryregular polygongeometry