2n rooks in a regular hexagon split into 6n^2 equilateral triangles
Source: 2019 Ukraine TST 1.2
November 17, 2020
combinatoricsColoringcombinatorial geometry
Problem Statement
There is a regular hexagon that is cut direct to equilateral triangles (Fig.).
There are arranged rooks, neither of which beats each other (the rooks hit in directions parallel to sides of the hexagon). Prove that if we consider chess coloring all equilateral triangles, then the number of rooks that stand on black triangles will be equal to the number of rooks standing on white triangles.
https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/0/43ce6c5c966f60a8ec893d5d8cd31e33c43fc0.png
[hide=original wording] Є правильний шестикутник, що розрізаний прямими на 6n^2 правильних трикутників (рис. 2). У них розставлені 2n тур, ніякі дві з яких не б'ють одна одну (тура б'є в напрямках, що паралельні до
сторін шестикутника). Доведіть, що якщо розглянути шахове розфарбування всіх 6n^2 правильних трикутників, то тоді кількість тур, що стоять на чорних трикутниках, буде рівна кількості тур, що стоять на білих трикутниках.