MathDB

2

Part of 2019 Ukraine Team Selection Test

Problems(2)

x divides p(x) if p(n+1)p(n+2)...p(n+k) / p(1)p(2)...p(k) is an integer

Source: 2019 Ukraine TST 2.2

11/17/2020
Polynomial p(x)p(x) with real coefficients, which is different from the constant, has the following property: for any naturals nn and kk the p(n+1)p(n+2)...p(n+k)p(1)p(2)...p(k)\frac{p(n+1)p(n+2)...p(n+k)}{p(1)p(2)...p(k)} is an integer. Prove that this polynomial is divisible by xx.
algebrapolynomialdivisible
2n rooks in a regular hexagon split into 6n^2 equilateral triangles

Source: 2019 Ukraine TST 1.2

11/17/2020
There is a regular hexagon that is cut direct to 6n26n^2 equilateral triangles (Fig.). There are arranged 2n2n rooks, neither of which beats each other (the rooks hit in directions parallel to sides of the hexagon). Prove that if we consider chess coloring all 6n26n^2 equilateral triangles, then the number of rooks that stand on black triangles will be equal to the number of rooks standing on white triangles. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/0/43ce6c5c966f60a8ec893d5d8cd31e33c43fc0.png [hide=original wording] Є правильний шестикутник, що розрізаний прямими на 6n^2 правильних трикутників (рис. 2). У них розставлені 2n тур, ніякі дві з яких не б'ють одна одну (тура б'є в напрямках, що паралельні до сторін шестикутника). Доведіть, що якщо розглянути шахове розфарбування всіх 6n^2 правильних трикутників, то тоді кількість тур, що стоять на чорних трикутниках, буде рівна кількості тур, що стоять на білих трикутниках.
combinatoricsColoringcombinatorial geometry