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Vojtěch Jarník IMC
2001 VJIMC
Problem 3
lim xf(x)=0 if f:R+->R+ and int^∞_0<∞
lim xf(x)=0 if f:R+->R+ and int^∞_0<∞
Source: VJIMC 2001 2.3
July 21, 2021
calculus
limits
integration
function
Problem Statement
Let
f
:
(
0
,
+
∞
)
→
(
0
,
+
∞
)
f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)
f
:
(
0
,
+
∞
)
→
(
0
,
+
∞
)
be a decreasing function which satisfies
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
<
+
∞
\int^\infty_0f(x)\text dx<+\infty
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
<
+
∞
. Prove that
lim
x
→
+
∞
x
f
(
x
)
=
0
\lim_{x\to+\infty}xf(x)=0
lim
x
→
+
∞
x
f
(
x
)
=
0
.
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